Question

如圖，和所在平面互相垂直，且，，E、F分別為AC、DC的中點.
（1）求證：；
（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2） .

試題分析：（1）（方法一）過E作EO⊥BC，垂足為O，連OF，由△ABC≌△DBC可證出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC，又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，即可證明EF⊥BC.（方法二）由題意，以B為坐標原點，在平面DBC內過B左垂直BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內過B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

易得,所以，因此,從而得；（2） （方法一）在圖1中，過O作OG⊥BF，垂足為G，連EG，由平面ABC⊥平面BDC，從而EO⊥平面BDC，從而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，由三垂線定理知EG垂直BF，因此∠EGO為二面角E-BF-C的平面角；在△EOC中，EO=EC=BC·cos30°=，由△BGO∽△BFC知，,因此tan∠EGO=,從而sin∠EGO=，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.
（方法二）在圖2中，平面BFC的一個法向量為，設平面BEF的法向量，又,由 得其中一個，設二面角E-BF-C的大小為，且由題意知為銳角，則，因此sin∠EGO=，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.
（1）證明：
（方法一）過E作EO⊥BC，垂足為O，連OF，

由△ABC≌△DBC可證出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC，
又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，
又EF面EFO，所以EF⊥BC.
（方法二）由題意，以B為坐標原點，在平面DBC內過B左垂直BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內過B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

易得B（0,0,0），A(0，-1，),D(,-1,0)，C(0,2,0),因而,所以，因此,從而，所以.
（2）（方法一）在圖1中，過O作OG⊥BF，垂足為G，連EG，由平面ABC⊥平面BDC，從而EO⊥平面BDC，從而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，由三垂線定理知EG垂直BF.
因此∠EGO為二面角E-BF-C的平面角；
在△EOC中，EO=EC=BC·cos30°=，由△BGO∽△BFC知，,因此tan∠EGO=,從而sin∠EGO=，即二面角E-BF-C的正弦值為.
（方法二）在圖2中，平面BFC的一個法向量為，設平面BEF的法向量，又,由 得其中一個，設二面角E-BF-C的大小為，且由題意知為銳角，則，因此sin∠EGO=，即二面角E-BF-C的正弦值為.