Question

【題目】已知函數f（x）=cosωxsin（ωx﹣ ）+ cos2ωx﹣ （ω＞0，x∈R），且函數y=f（x）圖象的一個對稱中心到它對稱軸的最近距離為 ．
（1）求ω的值及f（x）的對稱軸方程；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（A）=0，sinB= ，a= ，求b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=cosωxsin（ωx﹣ ）+ cos2ωx﹣ （ω＞0，x∈R），

化簡可得：f（x）= sinωxcosωx﹣ cos2ωx+ cos2ωx﹣ （ω＞0，x∈R），

= sin2ωx+ cos2ωx﹣ = sin2ωx+ cos2ωx= sin（2ωx ）

∵函數y=f（x）圖象的一個對稱中心到它對稱軸的最近距離為 ．

∴T=4× =π，

∴ ，

故得ω=1．

∴f（x）= sin（2x ），

對稱軸方程：2x = ，

得：x= ，k∈Z．

∴f（x）的對稱軸方程為：x= ，k∈Z．

（2）解：∵f（A）=0，即sin（2A ）=0，

∴2A =kπ，

∵0＜A＜π，

∴A= ，

∵sinB= ，a= ，

由正弦定理， ，可得： ，解得：b= ．

故得b的值為： ．

【解析】（1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，對稱中心到它對稱軸的最近距離為 ，可得周期T，從而求出ω．結合三角函數的圖象和性質，可得f（x）的對稱軸方程；（2）根據f（A）=0，求解出A角的大小，sinB= ，a= ，根據正弦定理可得b的值．