Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S₄=4，當n≥2時，滿足

Sn

+

Sn-1

=2a n
（1）求證：{

sn

}為等差數列；
（2）求

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

a9a10

的值．

Answer 1

分析：（1）利用：當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，和平方差公式即可證明；
（2）由（1）可得

Sn

=

S4

+

1

2

(n-4)=2+

n-4

2

=

n

2

，進而得出a_n，a₁需要求出．得到數列{a_n}是等差數列．利用“裂項求和”

1

anan+1

=

1

d

(

1

an

-

1

an+1

)．即可得出．

解答：解：（1）∵當n≥2時，滿足

Sn

+

Sn-1

=2an=2(Sn-Sn-1)=2(

Sn

-

Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)，
又

Sn

+

Sn-1

≠0，
∴

Sn

-

Sn-1

=

1

2

(n≥2)，
∴{

sn

}為等差數列，公差為

1

2

；
（2）由（1）可得

Sn

=

S4

+

1

2

(n-4)=2+

n-4

2

=

n

2

，
∴2an=

n

2

+

n-1

2

，∴an=

2n-1

4

（n≥2）．（*）
∴a2=

3

4

．
∴

a1+a2

=

S2

=

2

2

，即

a1+ 3 4

=1，解得a1=

1

4

．
因此當n=1時，（*）也成立．
∴an=

2n-1

4

（n≥2）．
∴數列{a_n}是等差數列．
∵

1

anan+1

=

1

d

(

1

an

-

1

an+1

)．
∴原式=

1

d

(

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

a9

-

1

a10

)=

1

d

(

1

a1

-

1

a10

)=2(4-

4

19

)=

144

19

．

點評：本題考查了利用“當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”求數列的通項公式、平方差公式、等差數列的通項公式、“裂項求和”等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．