Question

【題目】已知圓經過點， 和直線相切.

（1）求圓的方程；

（2）若直線經過點，并且被圓截得的弦長為2，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）(x－1)2＋(y＋2)2＝2．（2）x＝2或3x－4y－6＝0．

【解析】

（1）根據圓的弦的中垂線過圓心以及圓心到切線的距離等于半徑可求得圓心坐標及半徑的大小，從而可得結果；（2）若直線斜率不存在，符合題意；若直線斜率存在，可設直線方程為，利用點到直線距離公式列方程可求出的值，從而可得結果.

（1）由題知，線段AB的中點M(1,－2)， ,

線段AB的垂直平分線方程為，即，

設圓心的坐標為C(a，－a－1)，

則，

化簡，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1．∴C(1，－2)，

半徑r＝|AC|＝＝．

∴圓C的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝2．

（2）由題知圓心C到直線l的距離，

①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝2，此時直線l被圓C截得的弦長為2，

滿足條件．

②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，由題意得，

解得k＝，

∴直線l的方程為y＝（x－2）．

綜上所述，直線l的方程為x＝2或3x－4y－6＝0．