Question

已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)任作直線(xiàn)(與軸不平行)交拋物線(xiàn)分別于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，

（1）求證：直線(xiàn)與軸交點(diǎn)必為定點(diǎn)；
（2）過(guò)分別作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，兩條切線(xiàn)交于，求的最小值，并求當(dāng)取最小值時(shí)直線(xiàn)的方程.

Answer 1

（1）通過(guò)確定直線(xiàn)的方程，證明直線(xiàn)與軸交于定點(diǎn).
（2）或.

解析試題分析：（1）通過(guò)確定直線(xiàn)的方程，證明直線(xiàn)與軸交于定點(diǎn).
（2）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，確定過(guò)點(diǎn)及過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程并聯(lián)立方程組，確定,，
進(jìn)一步應(yīng)用“弦長(zhǎng)公式”及均值定理，建立的方程，確定得到，從而求得直線(xiàn)的方程為：或.
試題解析：設(shè)，∵拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為

∴可設(shè)直線(xiàn)的方程為：
，消去并整理得：
  4分
,
直線(xiàn)的方程為
∴直線(xiàn)與軸交于定點(diǎn)    7分
（2），∴過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為：
即：③，同理可得過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為：
④  9分
③—④得：()
∴
③+④得：
  12分
∴,

∴,取等號(hào)時(shí)，，
直線(xiàn)的方程為：或.  15分
考點(diǎn)：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，均值定理的應(yīng)用.