Question

【題目】如圖，在三棱錐P—ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為PC中點，E為AD中點，PA＝AC＝2，BC＝1．

（1）求證：AD⊥平面PBC：

（2）求PE與平面ABD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）先通過線面垂直的判定定理，得出平面PAC，所以，由等腰三角形的性質可得，，可得最后結果.

（2）以C為坐標原點建立空間直角坐標系，求A，B，P，D，E點的坐標，求平面ABD的法向量為，利用線面角的公式即可得出結果.

（1）證明：∵平面ABC，∴

又因為，

∴平面PAC，∴．

∵，D為PC中點，

∴，又∵，

∴平面PBC；

（2）以C為坐標原點建立如圖空間直角坐標系

，，，∴，，

∴，，．

設平面ABD的法向量為，

則，令，則，得．

設PE與平面ABD所成角為，則

．