Question

【題目】已知橢圓的離心率為，右焦點為，左頂點為A，右頂點B在直線上．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設點P是橢圓C上異于A，B的點，直線交直線于點，當點運動時，判斷以為直徑的圓與直線PF的位置關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）以BD為直徑的圓與直線PF相切．

【解析】

（Ⅰ）根據條件解得a,b值，（Ⅱ）設點P（x0，y0），解得D點坐標，即得以BD為直徑的圓圓心坐標以及半徑，再根據直線PF方程，利用圓心到直線PF距離與半徑大小關系作判斷.

（Ⅰ）依題可知B（a，0），a=2，因為，所以c=1，

故橢圓C的方程為．

（Ⅱ）以BD為直徑的圓與直線PF相切．

證明如下：設點P（x0，y0），則

①當x0=1時，點P的坐標為（1，±），直線PF的方程為x=1，

D的坐標為（2，±2）．

此時以BD為直徑的圓與直線PF相切．

②當≠1時直線AP的方程為，

點D的坐標為，BD中點E的坐標為，故

直線PF的斜率為，

故直線PF的方程為，即，

所以點E到直線PF的距離,故以BD為直徑的圓與直線PF相切．

綜上得，當點P運動時，以BD為直徑的圓與直線PF相切．