Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=

2

2

（1）以向量

AB

方向為側視方向，畫出側視圖；
（2）求證：平面AMN⊥平面CMN；
（3）求該幾何體的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,簡單空間圖形的三視圖,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）以向量

AB

方向為側視方向，能畫出側視圖．
（2）取MN中點為O，連AO，CO可證平面AMN⊥平面CMN．
（3）V=V_A-BDMN+V_C-BDMN，證明出AC⊥平面BDMN，由此能求出該幾何體的體積．

解答： （1）解：以向量

AB

方向為側視方向，畫出側視圖，如右圖所示．（2分）
（2）證明：∵四邊形ABCD是邊長為1的正方形，
MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=

2

2

，
∴AM=AN=CM=CN=

1+ 1 2

=

6

2

，MN=AC=

2

，
取MN中點為O，連AO，CO，
則AO=CO=

3 2 - 1 2

=1，AO⊥MN，BO⊥MN，
∴∠AOC是平面AMN和平面CMN所成的二面角的平面角，
∵AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90°，
∴平面AMN⊥平面CMN．（7分）
（3）解：連結AC，BD，
∵四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，
∴AC⊥BD，MD⊥AC，
又BD∩MD=D，∴AC⊥平面BDMN，（9分）
∵S_矩形BDMN=BD×MD=

2

×

2

2

=1，AC=

2

，
∴該幾何體的體積V=V_A-BDMN+V_C-BDMN
=

1

3

×

2

×1
=

2

3

．（12分）

點評：本題考查側視圖的作法，考查平面AMN⊥平面CMN的證明，考查幾何體的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．