Question

【題目】某企業擬建造如圖所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的容積為立方米，且l≥2r.假設該容器的建造費用僅與其表面積有關，已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為c(c>3)千元．設該容器的建造費用為y千元．

①寫出y關于r的函數表達式，并求該函數的定義域；

②求該容器的建造費用最小時的r.

Answer 1

【答案】①y＝4π(c－2)r2＋，0<r≤2②當3<c≤時，建造費用最小時r＝2；當c>時，建造費用最小時，r＝.

【解析】（1）由體積V=，解得l=，

∴y=2πrl×3+4πr2×c

=6πr×+4cπr2

=2π，

又l≥2r，即≥2r，解得0＜r≤2

∴其定義域為（0，2]．

（2）由（1）得，y′=8π（c﹣2）r﹣，

=，0＜r≤2

由于c＞3，所以c﹣2＞0

當r3﹣=0時，則r=

令=m，（m＞0）

所以y′=

①當0＜m＜2即c＞時，

當r=m時，y′=0

當r∈（0，m）時，y′＜0

當r∈（m，2）時，y′＞0

所以r=m是函數y的極小值點，也是最小值點．

②當m≥2即3＜c≤時，

當r∈（0，2）時，y′＜0，函數單調遞減．

所以r=2是函數y的最小值點．

綜上所述，當3＜c≤時，建造費用最小時r=2；

當c＞時，建造費用最小時r=