Question

【題目】已知：集合，其中

．，稱為的第個坐標分量．若，且滿足如下兩條性質：

①中元素個數不少于個．

②，，，存在，使得，，的第個坐標分量都是．則稱為的一個好子集．

（）若為的一個好子集，且，，寫出，．

（）若為的一個好子集，求證：中元素個數不超過．

（）若為的一個好子集且中恰好有個元素，求證：一定存在唯一一個，使得中所有元素的第個坐標分量都是．

Answer 1

【答案】(1) ，．

(2) 證明見解析.

(3)證明見解析.

【解析】分析：（1）根據好子集的定義直接寫出Z，W；

（2）若S為的一個好子集，考慮元素，進行判斷證明即可；

（3）根據好子集的定義，證明存在性和唯一性即可得到結論.

詳解：（），．

（）對于，考慮元素；

顯然，，，，對于任意的，，，不可能都為，

可得，不可能都是好子集中．

又因為取定，則一定存在且唯一，而且，

由的定義知道，，,

這樣，集合中元素的個數一定小于或等于集合中元素個數的一半，而集合中元素的個數為，所以中元素個數不超過．

（），，定義元素，的乘積為

，顯然．

我們證明“對任意的，都有．”

假設存在，使得，則由（）知，

．

此時，對于任意的，，，不可能同時為，矛盾，所以．

因為中只有個元素，我們記為中所有元素的成績，根據上面的結論，我們知道，

顯然這個元素的坐標分量不能都為，不妨設，

根據的定義，可以知道中所有元素的坐標分量都為．

下面再證明的唯一性：

若還有，即中所有元素的坐標分量都為．

所以此時集合中元素個數至多為個，矛盾．

所以結論成立．