Question

數列{a_n}中，a₁=1，且a_n+1=2a_n+1，又設b_n=a_n+1
（1）求證：數列{b_n}是等比數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）設（n∈N*），求數列{c_n}的前n項的和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接對條件a_n+1=2a_n+1整理即可得到a_n+1+1=2（a_n+1）進而得到數列{b_n}是等比數列；
（2）根據第一問的結論先求出數列{b_n}通項公式；再結合b_n=a_n+1即可求數列{a_n}的通項公式；
（3）先求出數列{c_n}的通項公式，再利用乘公比錯位相減法求和即可．
解答：解：（1）∵a₁=1，且a_n+1=2a_n+1，b_n=a_n+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∴=2，a₁+1=2
∴數列{b_n}是首項為2，公比為2的等比數列．
（2）∵b_n=2×2^n-1=2ⁿ
∴a_n=b_n-1=2ⁿ-1
（3）∵=．
∴S_n=+…+
∴S_n=…+
∴兩式相減可得：S_n=+++…+=1+-=．
∴S_n=．
點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式求解數列的通項公式．解決第三問用到了乘公比錯位相減求數列的和，乘公比錯位相減求數列的和是數列部分的重要方法，要注意掌握，它適用于一等差數列乘以一等比數列組合而成的新數列的求和．