Question

（本小題滿分15分）已知函數．
（Ⅰ）當時，判斷函數在定義域上的單調性；
（Ⅱ）若函數與的圖象有兩個不同的交點，求的取值范圍；
（Ⅲ）設點是函數圖象上的兩點，平行于的切線以為切點，求證：．

Answer 1

(Ⅰ)(0,1)上單調遞減，在上單調遞增  (Ⅱ)   （Ⅲ）見解析

（Ⅰ）記，則的定義域為．
當時，因，
所以在(0,1)上單調遞減，在上單調遞增．……4分
（Ⅱ）由．
令．
當時，，則單調遞增，且；
當時，，則單調遞減，且．
所以在處取到最大值．
所以要使與有兩個不同的交點，只需．…………9分
（III）由已知：，所以．
=．
設得： ．
構造函數，當時，，
所以函數在當時是增函數．
于是，時，，則，得成立．
同理，可證得成立，從而求證成立．……………………15分