Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的離心率為，右準線的方程為分別為橢圓C的左、右焦點，A，B分別為橢圓C的左、右頂點.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過作斜率為的直線l交橢圓C于M，N兩點（點M在點N的左側），且，設直線AM，BN的斜率分別為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)由離心率與準線方程列出方程組求出 ，代入，即可得解；(2) 設，，聯立直線與橢圓方程，求出、，由可得，從而求出代入可得，最后求出.

（1）因為橢圓C的離心率為，所以①，

因為橢圓C的右準線的方程為，

所以②，聯立①②，解得，

所以，

所以橢圓C的標準方程為.

（2）設，

因為過作斜率為的直線l交橢圓C于M，N兩點，

所以，

由，得，

所以，

因為，

所以.

因為，所以，

即，

整理得，

所以，

又，

所以，

即，

即，

整理得.

因為直線AM，BN的斜率分別為，且，

所以

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