Question

求過橢圓

x2

9

+y²=1的右焦點，且傾斜角為

π

6

的直線被橢圓所截弦長．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出橢圓的焦點坐標，根據點斜率式設直線方程，與橢圓方程消去y，利用根與系數的關系，根據弦長公式即可算出弦長．

解答： 解：∵橢圓方程為橢圓

x2

9

+y²=1，
∴焦點分別為F₁（-2

2

，0），F₂（2

2

，0），
∴過橢圓

x2

9

+y²=1的右焦點，且傾斜角為

π

6

的直線方程為y=

3

3

（x-2

2

），
設直線與橢圓的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將AB方程與橢圓方程消去y，得4x²-12

2

x+15=0
由韋達定理可得：x₁+x₂=3

2

，x₁x₂=

15

4

因此，|AB|=

1+( 3 3 )2

•|x₁-x₂|=

2 3

3

•

(3 2 )2-4× 15 4

=2．

點評：本題給出橢圓經過焦點且傾斜角為

π

6

的直線被橢圓所截弦長．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質、直線與橢圓的位置關系等知識，屬于中檔題．