Question

已知圓O：x²+y²=4，過點M（1，

2

）的兩條弦AC，BD互相垂直，則AC+BD的最大值是

 

．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：作OE⊥AC、OF⊥BD，分別連接OB、OM、OC，則OE²=OC²-CE²，OF²=ME²=OM²-OE²=OM²-（OC²-CE²）=OM²+CE²-OC²，BF²=OB²-OF²=OB²-（OM²+CE²-OC²）=OB²+OC²-OM²-CE²=2（OB）²-OM²-CE²，逐次代入表示出AC+BD，利用不等式求出AC+BD的最大值．

解答： 解：如圖，作OE⊥AC、OF⊥BD，
分別連接OB、OM、OC，
則OE²=OC²-CE²，
OF²=ME²=OM²-OE²=OM²-（OC²-CE²）=OM²+CE²-OC²，
BF²=OB²-OF²=OB²-（OM²+CE²-OC²）=OB²+OC²-OM²-CE²=2（OB）²-OM²-CE²．
由題意知：OB=2、OM=

3

，
故BF=

5-CE2

則AC+BD=2CE+2BF=2（CE+BF）=2（CE+

5-CE2

）
由不等式x+y≤

2(x2+y2)

得：CE+

5-CE2

≤

2(CE2+5-CE2)

=

10

，
所以AC+BD≤2

10

，即AC+BD的最大值為2

10

．
故答案為：2

10

．

點評：本題考查兩條線段和的最大值的求法，勾股定理，注意圓的性質的合理運用，以及不等式求最值問題，其中線段的依次代入是解題的關鍵．