Question

在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點M恰好是AC的中點，又∠CAD＝30°，PA＝AB＝4，點N在線段PB上，且＝.

(1)求證：BD⊥PC；
(2)求證：MN∥平面PDC；
(3)設平面PAB∩平面PCD＝l，試問直線l是否與直線CD平行，請說明理由．

Answer 1

（1）見解析（2）見解析（3）不平行

(1)因為△ABC是正三角形，M是AC的中點，
所以BM⊥AC，即BD⊥AC.
又因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.
又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，
又PC?平面PAC，所以BD⊥PC.
(2)在正三角形ABC中，BM＝2，
在△ACD中，因為M為AC的中點，DM⊥AC，所以AD＝CD，∠CDA＝120°，所以DM＝，所以BM∶MD＝3∶1，
所以BN∶NP＝BM∶MD，所以MN∥PD，
又MN?平面PDC，PD?平面PDC，所以MN∥平面PDC.
(3)假設直線l∥CD，因為l?平面PAB，CD?平面PAB，所以CD∥平面PAB.
又CD?平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
所以CD∥AB.
又知CD與AB不平行，
所以直線l與直線CD不平行．