Question

【題目】已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），e= ， 其中F是橢圓的右焦點，焦距為2，直線l與橢圓C交于點A、B，點A，B的中點橫坐標為 ， 且=λ（其中λ＞1）．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）求實數λ的值．

Answer 1

【答案】解：（I）由條件可知c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，
橢圓的標準方程是．
（Ⅱ）由=λ，可知A，B，F三點共線，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
若直線AB⊥x軸，則x1=x2=1，不合題意．
當AB所在直線l的斜率k存在時，設方程為y=k（x﹣1）．
由，消去y得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．①
由①的判別式△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=144（k2+1）＞0．
因為，
所以=，所以k2=．
將k2=代入方程①，得4x2﹣2x﹣11=0，
解得x=．
又因為=（1﹣x1 ， ﹣y1），=（x2﹣1，y2），=λ，
，解得．
【解析】（I）由條件可知c=1，a=2，由此能求出橢圓的標準方程．
（Ⅱ）由=λ ， 可知A，B，F三點共線，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直線AB⊥x軸，則x1=x2=1，不合意題意．當AB所在直線l的斜率k存在時，設方程為y=k（x﹣1）．由 ， 得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件能求出實數λ的值。