Question

【題目】如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求B點在AM上，D點在AN上，且對角線MN過點C，已知AB=2米，AD=1米．

（1）要使矩形AMPN的面積大于9平方米，則DN的長應在什么范圍內？

（2）當DN的長度為多少時，矩形花壇AMPN的面積最小？并求出最小值．

Answer 1

【答案】（1）（0， ）∪（2，+∞）；（2）矩形花壇的面積最小為8平方米.

【解析】試題分析：（1）由，列出函數關系式，通分化成標準形式，再求分式不等式的解集；（2）化簡矩形的面積，利用基本不等式，即可求解.

試題解析：（1）設DN的長為x（x＞0）米，則|AN|=（x+1）米，

∵，∴|AM|=，∴S矩形AMPN=|AN||AM|=．

由S矩形AMPN＞9得＞9，又x＞0得2x2-5x+2＞0，解得0＜x＜或x＞2

即DN的長的取值范圍是（0， ）∪（2，+∞）．（單位：米）

（2）因為x＞0，所以矩形花壇的面積為：

y==2x++4≥4+4=8，當且僅當2x=，即x=1時，等號成立．

答：矩形花壇的面積最小為8平方米．