Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓和圓．

（1）若直線過點，且被圓截得的弦長為是，求直線的方程；

（2）設為平面上的點，滿足：存在過點的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線與被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）或點.

【解析】

試題分析：（1）直線過點,故可以設出直線的點斜式方程，根據圓的幾何性質、點到直線距離公式及勾股定理到一個關于直線斜率的方程,解方程求出值即可；（2）由于兩直線斜率為之積為 ,可以設出過點的直線與的點斜式方程，由直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，可以得到一個關于直線斜率的方程，由方程恒成立可得關于的方程組，求得的值即可.

試題解析：（1）由于直線與圓不相交，所以直線的斜率存在，設

直線的方程為，圓的圓心到直線的距離為，

∵直線被圓截得的弦長為，

∴，∴，即或，

所以直線的方程為或；

（2）設點滿足條件，不妨設直線的方程為，

，則直線的方程為，因為和的半徑相等，

及直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，所以圓的圓心到直線的距離和圓的圓心到直線的距離相等，即，

整理得：，

∴或，

即或．

因為的取值有無窮多個，所以

，或，解得或，

這樣點只可能是點或點，經檢驗點和滿足題目條件．