Question

【題目】已知橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數，分別為橢圓的左、右頂點，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知過左頂點的直線與橢圓另交于點，與軸交于點，在平面內是否存在一定點，使得恒成立？若存在，求出該點的坐標，并求面積的最大值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），.

【解析】

（1）根據題意，由雙曲線的標準方程，求出和，利用，求得，根據離心率，即可求出雙曲線的離心率，結合題意，得出橢圓的離心率，根據橢圓中，得出，進而求出，最后利用，求出，即可得出橢圓的標準方程；

（2）設直線的方程為：，，可求出與軸交于點，聯立方程組，寫出韋達定理，進而可求出，設點，求出和，通過，化簡后通過直線過定點得出，由弦長公式求出，以及利用點到直線的距離公式求出點到直線：的距離，最后利用，化簡后可得出面積的最大值.

解：（1）由題可知，雙曲線，

則，，，

所以，

所以雙曲線的離心率：，

由于橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數，

則橢圓的離心率為，

而分別為橢圓的左、右頂點，且，

則，得，所以，，

所以橢圓的標準方程為：.

（2）由（1）可知，，，

直線過點，與橢圓另交于點，與軸交于點，

則設直線的方程為：，，

令，得，則，

將代入得：，

則，而，則，

由于，

得，

設點，則，，

要使得，

則

即

即，則，

即，則過定點，

即在平面內存在一定點，使得恒成立，

由于，

設點到直線：的距離為，

則，

所以的面積為：

，

因為，當且僅當時，即時，取等號，

則，

所以的最大值為，即面積的最大值為.