Question

設f(x)是定義在R上的增函數，且對于任意的x都有f(1－x)＋f(1＋x)＝0恒成立．如果實數m、n滿足不等式組那么m²＋n²的取值范圍是________．

Answer 1

(13,49)

由f(1－x)＋f(1＋x)＝0得，f(n²－8n)＝f[(n²－8n－1)＋1]＝－f[1－(n²－8n－1)]＝－f(－n²＋8n＋2)，所以f(m²－6m＋23)＜－f(n²－8n)＝f(－n²＋8n＋2)，又f(x)是定義在R上的增函數，所以m²－6m＋23＜－n²＋8n＋2，即為(m－3)²＋(n－4)²＜4，且m＞3，所以(m，n)在以(3,4)為圓心，半徑為2的右半個圓內，當為點(3,2)時，m²＋n²＝13，圓心(3,4)到原點的距離為5，此時
m²＋n²＝(5＋2)²＝49，所以m²＋n²的取值范圍是(13,49)．