Question

若存在區間M＝[a，b](a＜b)，使得{y|y＝f(x)，x∈M}＝M，則稱區間M為函數f(x)的一個“穩定區間”．給出下列四個函數：①y＝e^x，x∈R；②f(x)＝x³；③f(x)＝cos；④f(x)＝ln x＋1.其中存在穩定區間的函數有________(寫出所有正確命題的序號)．

Answer 1

②③

根據新定義逐一判斷．因為函數y＝e^x，x∈R遞增，且e^x＞x，x∈R恒成立，函數y＝e^x，x∈R不存在“穩定區間”，故①不存在“穩定區間”；函數f(x)＝x³存在穩定區間[－1,0]或[0,1]或[－1,1]，故②存在“穩定區間”；函數f(x)＝cos存在穩定區間[0,1]，故③存在“穩定區間”；函數
f(x)＝ln x＋1在(0，＋∞)上遞增，且ln x＋1≤x，x＞0恒成立，函數f(x)＝ln x＋1在定義域上不存在“穩定區間”，故④不存在“穩定區間”．