Question

數列{a_n}中an+1+an=3n-54(n∈N*)．
（1）若a₁=-20，求數列的通項公式；
（2）設S_n為{a_n}的前n項和，證明：當a₁＞-27時，有相同的n，使S_n與|a_n+1+a_n|都取最小值．

Answer 1

分析：（1）利用題設遞推式表示出a_n+2+a_n+1，兩式相減求得a_n+2-a_n為常數，進而判斷出a₁，a₃，a₅，與a₂，a₄，a₆，都是d=3的等差數列，分別看n為奇數和偶數時利用疊加法和等差數列求和公式求得答案．
（2）分別看n為奇數和偶數時表示出S_n，利用二次函數的性質分別求得其最小值，最后綜合可得答案．

解答：解：（1）∵an+1+an=3n-54(n∈N*)，
∴a_n+2+a_n+1=3n-51
∴兩式相減得a_n+2-a_n=3，
∴a₁，a₃，a₅，與a₂，a₄，a₆，都是d=3的等差數列
∵a₁=-20，∴a₂=-31，
①當n為奇數時，a_n=

3n-43

2

；②當n為偶數時，a_n=

3n-68

2

∴a_n=

3n-43 2 ，n為奇數 3n-68 2 ，n為偶數

；
（2）n=18時，|a_n+1+a_n|有最小值0；
①當n為偶數時，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）
=（3×1-54）+（3×3-54）+…+[3（n-1）-54]=3[1+3+5+…+（n-1）]-

n

2

×54=

3

4

n²-27n=

3

4

（n-18）²-243，
∴當n=18時，（S_n）_min=-243；
②當n為奇數時，S_n=a₁+（a₂+a₃）+…+（a_n-1+a_n）=

3

4

n²-27n+

105

4

+a₁=

3

4

（n-18）²-216

3

4

+a₁，
∴當n=17或19時（S_n）_min=a₁-216＞-243；
綜上，當n=18時（S_n）_min=-243．
∴當a₁＞-27時，有相同的n，使S_n與|a_n+1+a_n|都取最小值．

點評：本題考查數列的求和問題，求數列的通項公式，以及數列與函數思想的綜合，考查學生分析解決問題的能力，考查分類討論是數學思想，屬于中檔題．