Question

【題目】已知圓心在 軸上的圓 過點 和 ，圓 的方程為 ．
（1）求圓 的方程；
（2）由圓 上的動點 向圓 作兩條切線分別交 軸于 ， 兩點，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）設 ， ，

依題意得，圓 的圓心為線段 的垂直平分線 與 軸的交點 ．

因為直線 的方程為 ，即 ，

所以圓心 的坐標為 ．

所以圓 的方程為 ．

（2）設圓 上的動點 的坐標為 ，

則 ，

即 ，

解得 ．

設點 ， ，

則直線 ： ，即 ，

因為直線 與圓 相切，所以 ，

化簡得 ． ①

同理得 ， ②

由①②知 ， 為方程 的兩根，

即

所以

．

因為 ，

所以

．

令 ，因為 ，所以 ．

所以 ，

當 時， ，

當 時， ．

所以 的取值范圍為 ．

【解析】分析：本題主要考查了圓方程的綜合應用，解決問題的關鍵是（1）先設圓的標準方程，再利用已知條件可得 和 的值，即可得圓 的方程；（2）先設圓 上的動點 的坐標為 ，則可得 的取值范圍，再寫出 ， 的方程，可得 和 的坐標，進而可得 ，利用函數的單調性，可得 的最大值和最小值，即可得 的取值范圍．