Question

一個四棱錐的直觀圖和三視圖如圖所示：
（1）求證：BC⊥PB；
（2）求出這個幾何體的體積．
（3）若在PC上有一點E，滿足CE：EP=2：1，求證PA∥平面BED．

Answer 1

分析：（1）由三視圖可知：PD⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AB=AD=1，CD=2．由條件利用直線和平面垂直的判定定理證明BC⊥平面PBD，從而證明BC⊥PB．
（2）由題意可得PD是這個四棱錐的高，求得底面SABCD=

1

2

×(AB+CD)×AD的值，再由 VP-ABCD=

1

3

×SABCD×PD，運算求得結果．
（3）設AC交BD于O點，可得

CD

AB

=

CO

AO

=

2

1

，再由

CE

EP

=

2

1

，可得

CO

AO

=

CE

EP

=

2

1

，從而PA∥EO，由此可得PA∥平面BED．

解答：解：（1）由三視圖可知：PD⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AB=AD=1，CD=2．
∵PD⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC．…（1分）
在梯形ABCD中，PD=AD=AB=1，CD=2，∴BD=

2

，又可得BC=

2

，CD=2，∴DB⊥BC．…（2分）
又∵PD∩BD=D，BD，PD?平面PBD，∴BC⊥平面PBD．
再由PB?平面PBD，∴BC⊥PB．…（5分）
（2）∵PD⊥平面ABCD，∴PD是這個四棱錐的高，…（6分）
∵底面SABCD=

1

2

×(AB+CD)×AD=

1

2

×(2+4)×2=6，…（7分）
∴VP-ABCD=

1

3

×SABCD×PD=

1

3

×6×2=4…（8分）
（3）連結AC，設AC交BD于O點，∵CD∥AB，CD=2AB，∴

CD

AB

=

CO

AO

=

2

1

．（10分）
又∵

CE

EP

=

2

1

，∴

CO

AO

=

CE

EP

=

2

1

（，12分）∴PA∥EO．
EO?平面BED，PA?平面BE，∴PA∥平面BED…（14分）

點評：本題主要考查直線和平面垂直的判定定理、性質定理的應用，直線和平面平行的判定定理的應用，求棱錐的體積，屬于中檔題．