Question

（04年江蘇卷）(16分)一個質量為M的雪橇靜止在水平雪地上，一條質量為m的愛斯基摩狗站在該雪橇上。狗向雪橇的正后方跳下，隨后又追趕并向前跳上雪橇；其后狗又反復地跳下、追趕并跳上雪橇，狗與雪橇始終沿一條直線運動。若狗跳離雪橇時雪橇的速度為V，則此時狗相對于地面的速度為V+u（其中u為狗相對于雪橇的速度，V+u為代數和。若以雪橇運動的方向為正方向，則V為正值，u為負值)。設狗總以速度v追趕和跳上雪橇，雪橇與雪地間的摩擦忽略不計。已知v的大小為5m/s，u的大小為4m/s，M=30kg，m=10kg。

（1）求狗第一次跳上雪橇后兩者的共同速度的大小；

（2）求雪橇最終速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次數。（供使用但不一定用到的對數值：lg2=O.301，lg3=0.477)

Answer 1

解析：

（1）設雪橇運動的方向為正方向，狗第1次跳下雪橇后雪橇的速度為V₁，根據動量守恒定律，有    

 

狗第1次跳上雪橇時，雪橇與狗的共同速度滿足  

 

可解得    

 

將

 

代入，得  

 

（2）解法（一）：

 

設雪橇運動的方向為正方向，狗第（n－1）次跳下雪橇后雪橇的速度為V_n－1，則狗第（n－1）次跳上雪橇后的速度滿足 

 

這樣，狗n次跳下雪橇后，雪橇的速度為V_n滿足 

 

解得 

 

狗追不上雪橇的條件是  V_n≥

 

可化為  

 

        最后可求得  

 

代入數據，得 

 

狗最多能跳上雪橇3次

 

雪橇最終的速度大小為         V₄=5.625m/s

 

解法（二）：

 

設雪橇運動的方向為正方向。狗第i次跳下雪橇后，雪橇的速度為V_i，狗的速度為V_i+u；狗第i次跳上雪橇后，雪橇和狗的共同速度為，由動量守恒定律可得

 

  第一次跳下雪橇：MV₁+m（V₁+u）=0

 

                  V₁=－

 

  第一次跳上雪橇：MV₁+mv=（M+m）

 

  第二次跳下雪橇：（M+m）=MV₂+m（V₂+u）

 

                  V₂=

 

  第三次跳下雪橇：（M+m）V₃+M+m（+u）

                  =

  第四次跳下雪橇： （M+m）=MV₄+m（V₄+u）

 

 

此時雪橇的速度已大于狗追趕的速度，狗將不可能追上雪橇。因此，狗最多能跳上雪橇3次。雪橇最終的速度大小為5.625m/s。