Question

【題目】如圖所示，一質量為kg的小物塊甲靜止于某平臺的端點A處，距平臺右側處有一圓心角θ=37°的光滑圓弧軌道，軌道左側B點高h=0.25m，軌道最低點C處（與水平地面相切）緊靠一質量為kg的木板丙，一質量為kg的小物塊乙靜止在木板丙上表面，乙、丙間的動摩擦因數，木板丙與地面間的動摩擦因數，小物塊甲、乙均可視為質點。某時刻小物塊甲以初速度水平飛出，之后恰能平滑落入圓弧軌道，在C點處與木板丙碰撞（碰撞時間極短），小物塊乙最終不從木板上掉落，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度g取10m/s2，不計空氣阻力。

（1）求甲拋出時的初速度大小；

（2）若甲與丙碰撞過程中無能量損失，求碰后瞬間丙的速度大小；

（3）若甲與丙碰撞過程中有能量損失，已知碰后丙的速度大小（甲與丙不會發生二次碰撞），求乙與丙間因摩擦產生的熱量。（計算結果保留兩位小數）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）2.67J

【解析】

（1）小物塊甲恰能平滑落入圓弧軌道，即小物塊甲在B點處的速度方向恰好與圓弧軌道相切，即與水平方向的夾角為θ，設小物塊甲從A處水平飛出經過時間落入圓弧軌道，根據平拋運動的規律有

聯立兩式并代入數據解得

，

（2）設小物塊甲在C點的速度為，平臺高度為H，根據平拋運動規律有

小物塊甲從水平拋出到運動至C點的過程，根據動能定理有

聯立兩式并代入數據解得

當甲與丙碰撞過程中無能量損失時，設碰后瞬間丙的速度為，甲的速度為

根據動量守恒定律有

根據能量守恒定律有

聯立兩式并代入數據解得

（3）對小物塊乙受力分析，可知小物塊乙先在木板丙上向右做勻加速直線運動，根據牛頓第二定律可得，其加速度大小

對木板丙受力分析，可知木板丙先在地面上向右做勻減速直線運動，設其加速度大小為，根據牛頓第二定律有

代入數據解得

設經過時間，乙、丙速度相等，共速時的速度大小為

根據運動學公式有

代入數據解得

s，m/s

根據運動學公式可知，時間內乙、丙間的相對位移

當乙、丙共速時，對小物塊乙受力分析，可知此后小物塊乙向右做勻減速直線運動，加速度大小，對木板丙受力分析，可知木板丙向右做勻減速直線運動，設加速度大小為；根據牛頓第二定律有

代入數據解得

由于，所以木板丙的速度先減為零，在木板丙靜止前，小物塊乙將一直相對木板丙運動；

當木板丙速度為零時，由于，故此后木板丙將靜止在地面上，小物塊乙將繼續做加速度大小為的勻減速直線運動，直至靜止在木板丙上，根據運動學公式可知，乙、丙共速之后乙、丙間的相對位移

則整個過程中乙、丙間的相對位移

則乙與丙間因摩擦產生的熱量