Question

【題目】如圖所示，PQ和MN是固定于傾角為30o斜面內的平行光滑金屬軌道，軌道足夠長，其電阻可忽略不計。金屬棒ab、cd放在軌道上，始終與軌道垂直，且接觸良好。金屬棒ab的質量為2m、cd的質量為m，長度均為L、電阻均為R；兩金屬棒的長度恰好等于軌道的間距，并與軌道形成閉合回路。整個裝置處在垂直斜面向上、磁感應強度為B的勻強磁場中，若鎖定金屬棒ab不動，使金屬棒cd在與其垂直且沿斜面向上的恒力F=2mg作用下，沿軌道向上做勻速運動。重力加速度為g；

（1）試推導論證：金屬棒cd克服安培力做功的功率P安 等于電路獲得的電功率P電；_________

（2）設金屬棒cd做勻速運動中的某時刻t0=0，恒力大小變為F′=1.5mg，方向不變，同時解鎖、靜止釋放金屬棒ab，直到t時刻金屬棒ab開始做勻速運動；求：

①t時刻以后金屬棒ab的熱功率Pab _________；

②0～t時刻內通過金屬棒ab的電量q ________ ；

Answer 1

【答案】

【解析】（1）金屬棒cd做勻速運動的速度為v，

E=BLv

I=E/2R

FA=IBL

金屬棒cd克服安培力做功的功率P安 = FAv

電路獲得的電功率P電=

由 P安 =

P電=

所以：P安 = P電

（另解：金屬棒cd做勻速運動的速度為v，cd桿受力平衡有

聯立解得 ， ，

根據：

所以： ）

（2）①金屬棒ab做勻速運動，則有I1BL=2mgsin30o

金屬棒ab的熱功率Pab=I12R

由解得：Pab=

②設t后時刻金屬棒ab做勻速運動速度為v1，金屬棒cd也做勻速運動的速度為v2；

由金屬棒ab、金屬棒cd組成系統動量守恒：

mv=2mv1+m v2

回路電流 I1=

由解得：金屬棒ab做勻速運動速度為v1=

0～t時刻內對金屬棒a b分析：在電流為i的很短時間內，速度的該變量為由動量定理得：

對進行求和得：

解得BLq-mgt=2mv1

由解得：q=

（或：設ab、cd桿之間距離變化量為x，則：

設任意時刻，ab桿速度為，cd桿速度為，利用微元求和可得：

對ab桿進行動量定理：

聯立可得：

求解得：