Question

（1）2007年10月24日，我國成功地發射了“嫦娥一號”探月衛星，現在衛星正在距離月球表面高度為 h的圓形軌道進行為期一年的繞月探測．“嫦娥一號”的環月周期為T．已知月球半徑為R，萬有引力常量為G，求月球的質量．
（2）若地球質量是月球質量的81倍，地球半徑是月球半徑的4倍，地球的第一宇宙速度是7.9km/s．若在月球上建立衛星發射基地，估算發射環月衛星的最小發射速度．（結果保留兩位有效數字）據此分析從月球發射火星探測器比從地球發射的優點．

Answer 1

分析：（1）根據萬有引力提供向心力，通過軌道半徑和周期求出月球的質量．
（2）根據萬有引力提供向心力得出第一宇宙速度與中心天體質量和半徑的關系，從而求出發射環月衛星的最小發射速度．

解答：解：（1）根據G

M月m

(R+h)2

=m(R+h)

4π2

T2

得，
M月=

4π2(R+h)3

GT2

．
（2）根據G

Mm

R2

=m

v2

R

得，
v=

GM R

，則第一宇宙速度之比為

v月

v地

=

1 81 1 4

=

2

9

．
則v月=

2

9

v地=

2

9

×7.9≈1.8km/s．
從月球表面發射的好處是發射速度較小，難度較小．
答：（1）月球的質量為M月=

4π2(R+h)3

GT2

．
（2）發射環月衛星的最小發射速度為1.8km/s，從月球表面發射的好處是發射速度較小，難度較小；

點評：解決本題的關鍵知道第一宇宙速度是最小的發生速度，掌握萬有引力提供向心力這一理論，并能靈活運用．