Question

如圖所示，固定的凹槽水平表面光滑，其內放置U形滑板N，滑板兩端為半徑R=0.45m的1/4圓弧面．A和D分別是圓弧的端點，BC段表面粗糙，其余段表面光滑．小滑塊P₁和P₂的質量均為m．滑板的質量M=4m，P₁和P₂與BC面的動摩擦因數分別為μ₁=0.10和μ₂=0.40，最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力．開始時滑板緊靠槽的左端，P₂靜止在粗糙面的B點，P₁以v₀=4.0m/s的初速度從A點沿弧面自由滑下，與P₂發生彈性碰撞后，P₁處在粗糙面B點上．當P₂滑到C點時，滑板恰好與槽的右端碰撞并與槽牢固粘連，P₂繼續運動，到達D點時速度為零．P₁與P₂視為質點，取g=10m/s²．問：
（1）P₂在BC段向右滑動時，滑板的加速度為多大？
（2）BC長度為多少？N、P₁和P₂最終靜止后，P₁與P₂間的距離為多少？

Answer 1

（1）P₁滑到最低點速度為v₁，由機械能守恒定律有：

1

2

m

v

20

+mgR=

1

2

m

v

21

解得：v₁=5m/s
P₁、P₂碰撞，滿足動量守恒，機械能守恒定律，設碰后速度分別為v′₁、v′₂
則由動量守恒和機械能守恒可得：
mv₁=mv′₁+mv′₂

1

2

m

v

21

=

1

2

mv

′

21

+

1

2

mv

′

22

解得：v′₁=0、v′₂=5m/s
P₂向右滑動時，假設P₁保持不動，對P₂有：f₂=μ₂mg=4m（向左）
對P₁、M有：f=（m+M）a₂
a2=

f

m+M

=

4m

5m

=0.8m/s2
此時對P₁有：f₁=ma=0.80m＜f_m=1.0m，所以假設成立．
故滑塊的加速度為0.8m/s²；
（2）P₂滑到C點速度為v₂′，由mgR=

1

2

mv

′

22

得v′₂=3m/s
P₁、P₂碰撞到P₂滑到C點時，設P₁、M速度為v，對動量守恒定律：mv₂=（m+M）v+mv′₂
解得：v=0.40m/s
對P₁、P₂、M為系統：f2L=

1

2

m

v

22

-

1

2

mv′22+

1

2

(m+M)v2
代入數值得：L=1.9m
滑板碰后，P₁向右滑行距離：S1=

v2

2a1

=0.08m
P₂向左滑行距離：S2=

v ′ 22

2a2

=1.125m
所以P₁、P₂靜止后距離：△S=L-S₁-S₂=0.695m
故最后兩物體相距0.695m．