Question

國防科技工業局在2012年7月30日宣布，“嫦娥三號”將于2013年下半年擇機發射．我國已成功發射了“嫦娥二號”探月衛星，該衛星在環月圓軌道繞行n圈所用的時間為t，月球半徑為R₀，月球表面處重力加速度為g₀．
（1）請推導出“嫦娥二號”衛星離月球表面高度的表達式；
（2）地球和月球的半徑之比為

R

R0

=

4

1

、表面重力加速度之比為

g

g0

=

6

1

，試求地球和月球的密度之比．

Answer 1

（1）“嫦娥一號”星繞月球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力列出等式，

GMm

r2

=m（

2π

T

）²r     ①
在月球表面，根據萬有引力等于重力列出等式：

GMm

r02

═mg₀  ②
衛星在環月圓軌道繞行n圈，飛行時間為t，所以T=

t

n

       ③
r=R₀+h              ④
由①②③④解得：h=

3	R 20 g0 t 20 4n2π2

-R₀
（2）在星球表面，根據萬有引力等于重力列出等式

GM′m

R2

=mg ⑤
ρ=

M′

V

               ⑥
已知地球和月球的半徑之比為

R

R0

=4，表面重力加速度之比

g

g0

=6，⑦
由⑤⑥⑦解得地球和月球的密度之比

ρ

ρ0

=

3

2

．
答：（1）衛星在環月圓軌道上運行時離月球表面高度h的表達式為

3	R 20 g0 t 20 4n2π2

-R₀；
（2）地球和月球的密度之比為

3

2

．