Question

國(guó)防科技工業(yè)局在2012年7月30日宣布，“嫦娥三號(hào)”將于2013年下半年擇機(jī)發(fā)射．我國(guó)已成功發(fā)射了“嫦娥二號(hào)”探月衛(wèi)星，該衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道繞行n圈所用的時(shí)間為t，月球半徑為R₀，月球表面處重力加速度為g₀．
（1）請(qǐng)推導(dǎo)出“嫦娥二號(hào)”衛(wèi)星離月球表面高度的表達(dá)式；
（2）地球和月球的半徑之比為

R

R0

=

4

1

、表面重力加速度之比為

g

g0

=

6

1

，試求地球和月球的密度之比．

Answer 1

分析：“嫦娥二號(hào)”星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列出等式．
忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力列出等式求解．
根據(jù)密度的公式和已知量表示出密度進(jìn)行之比．

解答：解：（1）“嫦娥一號(hào)”星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列出等式，

GMm

r2

=m（

2π

T

）²r     ①
在月球表面，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力列出等式：

GMm

r02

═mg₀  ②
衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道繞行n圈，飛行時(shí)間為t，所以T=

t

n

       ③
r=R₀+h              ④
由①②③④解得：h=

3	R 2 0 g0 t 2 0 4n2π2

-R₀
（2）在星球表面，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力列出等式

GM′m

R2

=mg ⑤
ρ=

M′

V

               ⑥
已知地球和月球的半徑之比為

R

R0

=4，表面重力加速度之比

g

g0

=6，⑦
由⑤⑥⑦解得地球和月球的密度之比

ρ

ρ0

=

3

2

．
答：（1）衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道上運(yùn)行時(shí)離月球表面高度h的表達(dá)式為

3	R 2 0 g0 t 2 0 4n2π2

-R₀；
（2）地球和月球的密度之比為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查應(yīng)用物理知識(shí)分析研究科技成果的能力，基本原理：建立模型，運(yùn)用萬(wàn)有引力等于向心力研究．
向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．