Question

（2013?安徽）如圖所示的平面直角坐標系xOy，在第Ⅰ象限內有平行于y軸的勻強電場，方向沿y正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc區域內有勻強磁場，方向垂直于xOy平面向里，正三角形邊長為L，且ab邊與y軸平行．一質量為m、電荷量為q的粒子，從y軸上的p（0，h）點，以大小為v₀的速度沿x軸正方向射入電場，通過電場后從x軸上的a（2h，0）點進入第Ⅳ象限，又經過磁場從y軸上的某點進入第Ⅲ象限，且速度與y軸負方向成45°角，不計粒子所受的重力．求：
（1）電場強度E的大小；
（2）粒子到達a點時速度的大小和方向；
（3）abc區域內磁場的磁感應強度B的最小值．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場中做類平拋運動，水平位移和豎直位移均已知，由牛頓第二定律和運動學公式，運用運動的分解法可求出場強大小E．
（2）由速度的合成法求出粒子到達a點時速度大小和方向，由幾何知識確定粒子經過a點時的方向
（3）三角形區域內的磁場方向垂直紙面向里，當粒子剛好與BC邊相切時，磁感應強度最小，作出軌跡，由幾何知識求出最小半徑，由牛頓第二定律即可求出磁感應強度的最小值．

解答：解：粒子在第Ⅰ象限內做類平拋運動，設在第Ⅰ象限內運動的時間為t₁，則
水平方向有：2h=v₀t_1…①
豎直方向有：h=

1

2

qE

m

t12…②
①②式聯立得：E=

m v 2 0

2qh

   ③
（2）設粒子到達a點時時豎直方向的速度v_y
則有：vy=at1=

qE

m

t1…④．
①③④聯立得：v_y=v₀
所以粒子到達a點時速度大小為va=

vx2+vy2

=

v02+v02

=

2

v0    ①
與x軸的夾角為θ，由幾何關系得：tanθ=

vy

vx

=

v0

v0

=1，
所以θ=45°
（3）經分析，當粒子從b點出磁場時，磁感應強度最小；

由幾何關系得：r=

2

2

L       ②
由洛倫茲力提供向心力得：Bqv=

mv2

r

        ③
①②③聯立得：B=

2mv0

qL

即磁感應強度的最小值
答：（1）電場強度E的大小E=

m v 2 0

2qh

（2）v=

2

v₀，與x軸正方向成45°角斜向右下方
（3）磁場的磁感應強度B的最小值B=

2mv0

qL

．

點評：該題考查了有邊界電磁場的問題，在電場中的偏轉，利用平拋運動的知識求解；粒子在有邊界的勻強磁場中運動，利用幾何關系求解運動半徑和轉過的圓心角是解決問題的關鍵．