Question

（2013?安徽）如圖所示，質量為M傾角為α的斜面體（斜面光滑且足夠長）放在粗糙的水平地面上，底部與地面的動摩擦因數為μ，斜面頂端與勁度系數為k、自然長度為l的輕質彈簧相連，彈簧的另一端連接著質量為m的物塊．壓縮彈簧使其長度為

3

4

l時將物塊由靜止開始釋放，且物塊在以后的運動中，斜面體始終處于靜止狀態．重力加速度為g．
（1）求物塊處于平衡位置時彈簧的長度；
（2）選物塊的平衡位置為坐標原點，沿斜面向下為正方向建立坐標軸，用x表示物塊相對于平衡位置的位移，證明物塊做簡諧運動；
（3）求彈簧的最大伸長量；
（4）為使斜面始終處于靜止狀態，動摩擦因數μ應滿足什么條件（假設滑動摩擦力等于最大靜摩擦力）？

Answer 1

分析：（1）物體平衡時，受重力、支持力和彈簧的彈力，三力平衡，根據平衡條件并結合正交分解法和胡克定律列式求解；
（2）簡諧運動的回復力滿足F=-kx形式；
（3）簡諧運動具有對稱性，先求解出振幅，然后確定最大伸長量；
（4）當滑塊處于任意位移x處時，能保持靜止即可，對斜面體受力分析后根據平衡條件列式求解，然后將最大位移打入即可．

解答：解：（1）物體平衡時，受重力、支持力和彈簧的彈力，根據平衡條件，有：
mgsinα=k?△x
解得：△x=

mgsinα

k

故彈簧的長度為l+

mgsinα

k

；
（2）物體到達平衡位置下方x位置時，彈力為：k（x+△x）=k（x+

mgsinα

k

）；
故合力為：F=mgsinα-k（x+

mgsinα

k

）=-kx；
故物體做簡諧運動；
（3）簡諧運動具有對稱性，壓縮彈簧使其長度為

3

4

l時將物塊由靜止開始釋放，故其振幅為：
A=

1

4

l+△x=

1

4

l+

mgsinα

k

；
故其最大伸長量為：A+△x=(

1

4

l+

mgsinα

k

)+

mgsinα

k

=

l

4

+

2mgsinα

k

；
（4）設物塊位移x為正，斜面體受重力、支持力、壓力、滑動摩擦力、靜摩擦力，如圖

根據平衡條件，有：
水平方向：f+F_N1sinα-Fcosα=0
豎直方向：F_N2-Mg-F_N1cosα-Fsinα=0
又有：F=k（x+△x），F_N1=mgcosα
聯立可得：f=kxcosα，F_N2=Mg+mg+kxsinα
為使斜面體保持靜止，結合牛頓第三定律，應該有|f|≤μF_N2，所以
μ≥

|f|

FN2

=

k|x|cosα

Mg+mg+kxsinα

當x=-A時，上式右端達到最大值，于是有：
μ≥

(kL+4mgsinα)cosα

4Mg+4mgcos2α-kLsinα

答：（1）物塊處于平衡位置時彈簧的長度為l+

mgsinα

k

；
（2）證明如上；
 （3）彈簧的最大伸長量為

l

4

+

2mgsinα

k

；
（4）為使斜面始終處于靜止狀態，動摩擦因數μ應滿足的條件為：μ≥

(kl+4mgsinα)cosα

4Mg+4mgcos2α-klsinα

．

點評：本題關鍵是先對滑塊受力分析，然后根據牛頓第二定律列式分析；最后對斜面體受力分析，確定動摩擦因素的最小值，難題．