Question

（12分）一個平板小車置于光滑水平面上，其右端恰好和一個光滑圓弧軌道AB的底端等高對接，如圖所示．已知小車質量M＝3.0 kg，長L＝2.06 m，圓弧軌道半徑R＝0.8 m．現將一質量m＝1.0 kg的小滑塊，由軌道頂端A點無初速釋放，滑塊滑到B端后沖上小車．滑塊與小車上表面間的動摩擦因數μ＝0.3 (取g＝10 m/s²)，求：

(1)滑塊到達B端時，軌道對它支持力的大小
(2)小車運動1.5 s時，車右端距軌道B端的距離
(3)滑塊與車面間由于摩擦而產生的內能

Answer 1

（1）30 N（2）1 m（3）6 J

(1)滑塊從A端下滑到B端，由動能定理得mgR＝mv₀²-0      （2分）
在B點由牛頓第二定律得F_N－mg＝                                  （2分）
解得軌道對滑塊的支持力F_N＝3 mg＝30 N                                  （1分）
(2)滑塊滑上小車后，由牛頓第二定律
對滑塊：－μmg＝ma₁，得a₁＝－3 m/s²                                     （1分）
對小車：μmg＝Ma₂，得a₂＝1 m/s²                                         （1分）
設經時間t后兩者達到共同速度，則有v₀＋a₁t＝a₂t
解得t＝1 s 
由于t＝1 s<1.5 s，
故1 s后小車和滑塊一起勻速運動，速度v＝1 m/s                           （1分）
因此，1.5 s時小車右端距軌道B端的距離為s＝a₂t²＋v(1.5－t)＝1 m    （1分）
(3)滑塊相對小車滑動的距離為Δs＝t－t＝2 m               （1分）
所以產生的內能Q＝μmgΔs＝6 J                                          （2分）
本題考查對牛頓第二定律和圓周運動的應用，由A到B時應用動能定理列式可求出物體在B點的速度，在B點合力提供向心力，根據牛頓第二定律可求出此時物體受到的支持力，物體滑上小車后所受摩擦力向右，物體向左做勻減速直線運動，反之小車向左最勻加速直線運動，當兩者達到共同速度時求出時間為1s，所以在1.5s時刻兩者以勻速運動，根據小車勻加速和勻速兩個過程求解車右端距軌道B端的距離