Question

如圖所示，一塊質(zhì)量為M，長(zhǎng)為L(zhǎng)的均質(zhì)長(zhǎng)木板放在很長(zhǎng)的光滑水平桌面上，板的左端有一質(zhì)量為m的小物體（可視為質(zhì)點(diǎn)），物體上連接一根很長(zhǎng)的細(xì)繩，細(xì)繩跨過(guò)位于桌邊的定滑輪．某人以恒定的速率v向下拉繩，物體最多只能到達(dá)板的中點(diǎn)，已知整個(gè)過(guò)程板的右端都不會(huì)到達(dá)桌邊定滑輪處．試求：
（1）當(dāng)物體剛達(dá)木板中點(diǎn)時(shí)木板的位移；
（2）求m與M之間摩擦因數(shù)
（3）若木板與桌面之間有摩擦，為使物體能達(dá)到板的右端，板與桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）板與物塊都向右做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩者速度相等時(shí)，木塊與板相對(duì)靜止，由牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分析答題．
（2）對(duì)板與物塊進(jìn)行受力分析，由牛頓第二定律求出 加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出位移，然后根據(jù)兩者間位移的幾何關(guān)系分析答題．

解答：解：（1）m與M相對(duì)滑動(dòng)的過(guò)程中，m勻速運(yùn)動(dòng)，有：vt=S₁        
M勻加速運(yùn)動(dòng)，有：

vt

2

=S₂      
根據(jù)題干的條件有：S₁-S₂=

L

2

      
聯(lián)立以上三式得：S₂=

L

2

（2）設(shè)m與M之間摩擦因數(shù)為μ₁，當(dāng)桌面光滑時(shí)有：mgμ₁=Ma₁…①
v²=2a₁S₂…②
由①②③得：μ1=

Mv2

gmL

…③
（3）如果板與桌面有摩擦，因?yàn)镸與桌面摩擦因數(shù)越大，m越易從右端滑下，所以當(dāng)m滑到M右端兩者剛好共速時(shí)摩擦因數(shù)最小，設(shè)為μ₂
對(duì)M有：Ma₂=mgμ₁-（m+M）gμ₂ …④

v

2

t′=s′2…⑤
v²=2a₂s'₂…⑥
對(duì)m有：vt'=s'₁…⑦
s'₁-s'₂=L…⑧
聯(lián)立③④⑤⑥⑦⑧得：μ2=

Mv2

2(m+M)gL

所以桌面與板間的摩擦因數(shù)應(yīng)滿足：μ≥

Mv2

2(M+m)gL

答：（1）當(dāng)物體剛達(dá)木板中點(diǎn)時(shí)木板的位移為

L

2

．
（2）m與M之間摩擦因數(shù)

Mv2

mgL

．
（3）若木板與桌面之間有摩擦，為使物體能達(dá)到板的右端，板與桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)應(yīng)滿足μ≥

Mv2

2(M+m)gL

．

點(diǎn)評(píng)：分析求出物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程，應(yīng)用牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、即可正確解題．