Question

如圖所示，ab是半徑為R的圓的一條直徑，該圓處于勻強電場中，場強大小為E，方向與圓周平面平行．在圓周平面內將質量為m，帶正電為q的粒子，從a點同時以相同的動能在圓周平面向各個方向拋出，粒子會經過圓周上不同的點．在這些點中，到達c點的粒子動能最大，已知ac和ab間的夾角θ=30°，若不計重力和空氣阻力及粒子間的相互作用力，求：
（1）電場方向與ab間的夾角α為多大？
（2）若粒子在a點時的初速度與電場方向垂直，則粒子恰好能落在C點，則初速度為多大？
（3）若在a點時的初速度與電場方向垂直的粒子恰好落在C點時，是否還有其它粒子同時落到圓周上．若有，求出其它粒子在圓周上的落點到C點的距離；若沒有，說明理由．

Answer 1

分析：（1）小球在勻強電場中，從A點運動到C點，根據動能定理qU_AC=E_k，因為到達C點時的小球的動能最大，所以U_AC最大，即在圓周上找不到與C電勢相等的點．所以與C點電勢相等的點在過C點的切線上．再根據電場線與等勢線垂直，可以畫出電場線．
（2）小球做類平拋運動，根據平拋運動的知識分析小球的運動情況，分別在水平方向和豎直方向上列式求解．
（3）通過類比，看成類平拋運動，結合運動學公式與牛頓第二定律，及運動的合成與分解，即可求解．

解答：解：（1）小球在勻強電場中，從a點運動到c點，根據動能定理qU_ac=E_k
因為到達c點時的小球的動能最大，所以Uac最大，即在圓周上找不到與c電勢相等的點．且由a到c電場力對小球做正功．
過c點作切線，則cF為等勢線．
過a點作cF的垂線，則該線為電場線，場強方向如圖示．
∵∠cab=30°
∴連接co∠aco=30°
∵co∥am
∴電場方向與ac間的夾角θ為30°
（2）小球只受電場力，做類平拋運動．
水平方向上：x=Rcos30°=v₀t
豎直方向上：y=R+Rsin30°=

qEt2

2m

由以上兩式得：E_k=

1

2

mv²=

1

8

qER
因此初速度為v=

qER 4m

（3）根據題意可知，粒子做類平拋運動，由運動的合成與分解，在電場力的方向，在相同的電場力作用下，雖初動能相同，但因質量的不同，導致加速度的不一，由運動學公式s=

1

2

at2，可知，當加速度大的，要確保時間相同，則位移必須大，而加速度大的，質量偏小，則速度偏大，發生的垂直電場力方向的位移偏大，因此不可能同時落在同一圓周上，故沒有其它粒子同時落到圓周上．
答：（1）電場的方向與AC間的夾角為30°；
（2）小球在A點的初速度與電場方向垂直，小球恰能落到C點，則初速度為

qER 4m

；
（3）沒有同時落在圓周上的粒子．

點評：本題關鍵考查對電場力做功公式W=qEd的理解和應用，d是沿電場方向兩點間的距離．此題要求熟練掌握功能關系和類平拋運動，屬于難題．