Question

【題目】如圖，玻璃球冠的折射率為，其底面鍍銀，底面的半徑是球半徑的倍；在過球心O且垂直于底面的平面（紙面）內，有一與底面垂直的光線射到玻璃球冠上的M點，該光線的延長線恰好過底面邊緣上的A點。求該光線從球面射出的方向相對于其初始入射方向的偏角。

Answer 1

【答案】150°

【解析】試題分析：設球半徑為R，球冠地面中心為O′，連接OO′，則OO′⊥AB

令∠OAO′=α

則： …①

即∠OAO′=α=30°…②

已知MA⊥AB，所以∠OAM=60°…③

設圖中N點為光線在球冠內地面上的反射點，光路圖如圖所示．

設光線在M點的入射角為i，折射角為r，在N點的入射角為i′，反射角為i″，玻璃的折射率為n．

由于△OAM為等邊三角形，所以入射角i=60°…④

由折射定律得：sini=nsinr…⑤

代入數據得：r=30°…⑥

作N點的法線NE，由于NE∥MA，所以i′=30°…⑦

由反射定律得：i″=30°…⑧

連接ON，由幾何關系可知△MAN≌△MON，則∠MNO=60°…⑨

由⑦⑨式可得∠ENO=30°

所以∠ENO為反射角，ON為反射光線．由于這一反射光線垂直球面，所以經球面再次折射后不改變方向．

所以，該光線從球面射出的方向相對于其初始入射方向的偏角為β=180°-∠ENO=150°