Question

如圖所示，水平放置的兩塊帶電金屬板a、b平行正對．極板長度為l，板間距也為l，板間存在著方向豎直向下的勻強(qiáng)電場和垂直于紙面向里磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場．假設(shè)電場、磁場只存在于兩板間的空間區(qū)域．一質(zhì)量為m的帶電荷量為q的粒子（不計(jì)重力及空氣阻力），以水平速度v₀從兩極板的左端中間射入場區(qū)，恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)．求：
（1）金屬板a、b間電壓U的大小______
（2）若僅將勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)樵瓉淼?倍，粒子將擊中上極板，求粒子運(yùn)動(dòng)到達(dá)上極板時(shí)的動(dòng)能大小______
（3）若撤去電場，粒子能飛出場區(qū)，求v₀滿足的條件______
（4）若滿足（3）中條件，粒子在場區(qū)運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間______．

Answer 1

（1）粒子勻速運(yùn)動(dòng)，受力平衡，根據(jù)受力平衡的條件可得：
q

U

l

=qv₀B，
所以電壓：
U=lv₀B；
（2）僅將勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)樵瓉淼?倍，洛倫茲力變大，但是洛倫茲力與速度的方向垂直，洛倫茲力不做功，只有電場力對粒子做功，根據(jù)動(dòng)能定理可得：
q?

1

2

U=

1

2

mv²-

1

2

mv₀²
又因?yàn)?U=lv₀B
所以，粒子運(yùn)動(dòng)到達(dá)上極板時(shí)的動(dòng)能大小為：
E_K=

1

2

mv₀²+

1

2

qBlv₀；
（3）當(dāng)粒子恰好貼著右邊界飛出時(shí)為速度的一個(gè)最值，
此時(shí)：圓心角為60度
則由幾何關(guān)系可得r=

3

l
由牛頓第二定律得：qv₀B=m

v 20

r

解得：v₀=

5qBl

4m

所以速度：
v₀≥

5qBl

4m

當(dāng)粒子從左邊界飛出時(shí)，粒子做的是半徑r=

1

4

l的半圓，此時(shí)有：
r=

1

4

l=

mv0

qB

所以此時(shí)的速度v₀≤

qBl

4m

；
（4）由于T=

2πm

qB

，與粒子的速度大小無關(guān)，所以圓心角為180度時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長，最長的時(shí)間為：
t=

1

2

T=

πm

qB

故答案為：
（1）U=lv₀B；
（2）E_K=

1

2

mv₀²-

1

2

qBlv₀；
（3）v0≤

qBl

4m

或v0≥

5qBl

4m

；
（4）

πm

qB

．