Question

（2009?天津模擬）2009年3月1日16時13分10秒，中國自主研制的第一個月球探測器（嫦娥一號）成功實現“受控撞月”，為我國探月一期工程畫上圓滿的句號．
（1）設探測器的質量為m，月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g，“受控撞月”開始前探測器在離月球表面高為h的圓形環月軌道上正常運行．求它在此軌道上正常運行的線速度大小；
（2）假設此次進行“受控撞月”開始的過程按圖甲所示進行，探測器在A點向前短時間噴氣，減速后的探測器做向心運動沿曲線到達月球表面附近的B點．設探測器到達B點時速度大小為v_B，從A到B的空間范圍內的重力加速度大小都近似等于月球表面的重力加速度，噴出的氣體相對于月球表面的速度大小為u，求噴出氣體的質量；
（3）為了增加撞擊效果，撞擊前要利用剩余的燃料對探測器進行加速，圖乙所示為探測器到達B點時速度方向的示意圖，為了使探測器能夠沿此方向做加速直線運動，請在圖乙中用由坐標原點O出發的有向線段表示出可能的一種發動機噴氣方向．

Answer 1

分析：（1）根據萬有引力提供向心力G 

Mm

(R+h)2

=m

v02

R+h

，月球表面的物體受到的重力等于萬有引力G

Mm

R2

=mg．由此兩式可解得它在此軌道上正常運行的線速度大小v₀．
（2）從A到B衛星和月球系統的機械能守恒

1

2

mvA2+mgh=

1

2

mvB2，噴氣過程中衛星系統的動量守恒，設噴射出氣體的質量為△m，mv₀=（m-△m）v_A+△m?u．結合v₀的值，可解得噴出氣體的質量△m．
（3）為了使探測器能夠沿v_B方向做加速直線運動，所以合力的方向一定要沿v_B的方向，所以發動機噴氣方向在y軸負方向和v_B反方向之間某一條直線上．

解答：解：（1）設月球的質量為M，衛星的線速度為v₀，則
根據萬有引力提供向心力G 

Mm

(R+h)2

=m

v02

R+h

-------------①
又月球表面的物體受到的重力等于萬有引力G

Mm

R2

=mg---------②
由①②兩式得
v0=R

g R+h

---------------------------③
（2）設衛星在A點減速后的速度為v_A
從A到B衛星和月球系統的機械能守恒，所以

1

2

mvA2+mgh=

1

2

mvB2----------------------④
噴氣過程中衛星系統的動量守恒，設噴射出氣體的質量為△m，所以
mv₀=（m-△m）v_A+△m?u---------------------⑤
由③、④、⑤式解得
△m=

m(R g R+h - vB2-2gh )

u- vB2-2gh

------------------⑥
（3）為了使探測器能夠沿v_B方向做加速直線運動，所以合力的方向一定要沿v_B的方向，
探測器已受月球的引力，沿y周負方向，故發動機的推力一定要在y軸正方向和v_B之間，這樣合力才可能沿v_B的方向．
所以發動機噴氣方向在y軸負方向和v_B反方向之間某一條直線上．
故由O點出發在y軸負方向和v_B反方向之間的有向線段都正確（不包括y軸負方向和v_B的反方向）．
答：（1）設探測器的質量為m，月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g，“受控撞月”開始前探測器在離月球表面高為h的圓形環月軌道上正常運行．它在此軌道上正常運行的線速度大小為R

g R+h

；
（2）假設此次進行“受控撞月”開始的過程按圖甲所示進行，探測器在A點向前短時間噴氣，減速后的探測器做向心運動沿曲線到達月球表面附近的B點．設探測器到達B點時速度大小為v_B，從A到B的空間范圍內的重力加速度大小都近似等于月球表面的重力加速度，噴出的氣體相對于月球表面的速度大小為u，噴出氣體的質量為

m(R g R+h - vB2-2gh )

u- vB2-2gh

；
（3）為了增加撞擊效果，撞擊前要利用剩余的燃料對探測器進行加速，圖乙所示為探測器到達B點時速度方向的示意圖，為了使探測器能夠沿此方向做加速直線運動，在圖乙中用由坐標原點O出發的有向線段表示出可能的一種發動機噴氣方向如上圖所示．

點評：本題解題的關鍵是兩個理論的應用：1．萬有引力提供向心力，即G 

Mm

(R+h)2

=m

v02

R+h

；2．萬有引力近似等于重力，G

Mm

R2

=mg．