Question

(12分)如圖所示，豎直平面內(nèi)的軌道ABCD由水平軌道AB與光滑的四分之一圓弧軌道CD組成，AB恰與圓弧CD在C點(diǎn)相切，軌道固定在水平面上。一個(gè)質(zhì)量為m的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從軌道的A端以初動(dòng)能E沖上水平軌道AB，沿著軌道運(yùn)動(dòng)，由DC弧滑下后停在水平軌道AB的中點(diǎn)。已知水平軌道AB長為L。求：

（1）小物塊與水平軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)。
（2）為了保證小物塊不從軌道的D端離開軌道，圓弧軌道的半徑R至少是多大？
（3）若圓弧軌道的半徑R取第（2）問計(jì)算出的最小值，增大小物塊的初動(dòng)能，使得小物塊沖上軌道后可以達(dá)到最大高度是1.5R處，試求物塊的初動(dòng)能并分析物塊能否停在水平軌道上。如果能，將停在何處？如果不能，將以多大速度離開水平軌道？

Answer 1

（1）（2）（3）距A點(diǎn)處

試題分析：（1）小物塊從沖上水平軌道AB到最終停在AB的中點(diǎn)，在這個(gè)過程中，
由動(dòng)能定理得    
得
（2）若小物塊剛好到達(dá)D處，速度為零則小物塊不會(huì)從軌道的D端離開軌道，此過程根據(jù)動(dòng)能定理有
解得CD圓弧半徑至少為
（3）設(shè)物塊以初動(dòng)能E′沖上軌道，可以達(dá)到的最大高度是1.5R，由動(dòng)能定理得
解得
物塊滑回C點(diǎn)時(shí)有動(dòng)能定理
物塊滑回C點(diǎn)的動(dòng)能為
由于，故物塊將停在軌道上。
設(shè)到A點(diǎn)的距離為x，有解得
即物塊最終停在水平滑道AB上，距A點(diǎn)處。