Question

【題目】如圖甲所示，一輕質彈簧左端固定在墻壁上，右端與置于水平面上的質量為m的小滑塊相連。在以下的討論中小滑塊可視為質點，彈簧始終在彈性限度內，取彈簧原長時彈性勢能為0，且空氣阻力可忽略不計。

（1）若水平面光滑，以彈簧原長時小滑塊的位置O為坐標原點，建立水平向右的坐標軸Ox，如圖甲所示。

①請在圖乙中畫出彈簧彈力F與小滑塊所在位置坐標x的關系圖像。

教科書中講解了由v - t圖像求位移的方法，請你借鑒此方法，并根據F-x圖像推導出小滑塊在x位置時彈簧彈性勢能Ep的表達式。（已知彈簧的勁度系數為k）

②小滑塊在某輕質彈簧的作用下，沿光滑水平面在O點附近做往復運動，其速度v的大小與位置坐標x的關系曲線如圖丙所示，其中vm和x0皆為已知量，請根據圖丙中v-x圖像提供的信息求解本題中彈簧的勁度系數k′。

（2）若水平面不光滑，且已知小滑塊與水平面之間的動摩擦因數為μ。仍以彈簧原長時小滑塊的位置O為坐標原點，建立水平向右的坐標軸Ox，將小滑塊沿水平面向右拉到距離O點為l0的P點按住（l0>μmg/k），如圖丁所示。計算中可以認為滑動摩擦力與最大靜摩擦力大小相等，已知重力加速度為g，彈簧的勁度系數為k。

①若放手后小滑塊第一次經過O點向左運動至最遠點Q，求Q點與O點的距離，并分析如果小滑塊在Q點停不住，l0與μ、m和k等物理量之間應滿足什么條件；

②若放手后小滑塊第二次經過O點后在向右運動的過程中逐漸減速最終靜止，求小滑塊從P點開始運動的整個過程中所通過的總路程。

Answer 1

【答案】（1）①見解析②（2）①見解析②

【解析】

（1）①根據彈簧彈力與伸長量的關系F=kx可得F-x圖像如圖所示。

圖像與x軸圍成的面積代表彈簧彈力做功，如圖所示

由面積可知將彈簧拉伸x的過程中，彈簧彈力所做的功

W=-

根據功能關系可知，當彈簧被拉伸x時，其彈性勢能

②因小滑塊與彈簧組成的系統在運動過程中機械能守恒，因此有

可解得

（2）①對于小滑塊由P點出發向左運動的過程，假設其在最左端時，其距O點的距離為l1，由功能關系得：

即：

解得：

若小滑塊速度為零而停不住，則應有：

將l1代入得：

l0>

②設小滑塊速度為零時距O點的距離為l2，對其由O點左側最大位移處向右運動至速度減為零的過程，由功能關系得：

解得：

所以滑塊走過的總路程為