Question

如圖所示，在豎直面內有固定軌道ABCDE，其中BC是半徑為R的四分之一圓弧軌道，AB（AB＞R）是豎直軌道，CE是足夠長的水平軌道，CD＞R．AB與BC相切于B點，BC與CE相切于C點，軌道的AD段光滑，DE段粗糙且足夠長．一根長為R的輕桿兩端分別固定有質量均為m的相同小球P、Q（視為質點），將輕桿鎖定在圖示位置，此位置Q與B等高．現解除鎖定釋放輕桿，輕桿將沿軌道下滑，Q球經過D點后，沿軌道繼續滑行了3R而停下．重力加速度為g．求：
（1）P球到達C點時的速度大小v₁；
（2）兩小球與DE段軌道間的動摩擦因數μ；
（3）Q球到達C點時的速度大小v₂．

Answer 1

分析：（1）以兩球組成的系統為研究對象，下滑過程中，Q的重力勢能減小mgR，P的重力勢能減小2mgR，由機械能守恒即可求出v₁；
（2）產生的內能為μmg2R+μmg3R，根據能量守恒求解小球與DE段之間的動摩擦因數；
（3）Q球從下滑到到達C點的過程中，P球重力勢能減小mg（1+sin30°）R，Q球重力勢能減小mgR，都轉化為兩球動能，由機械能守恒求出Q球到達C點時的速度大小．

解答：解：（1）以兩球為研究對象，由機械能守恒得：
mgR+mg2R=

1

2

×2mv12
解得：v₁=

6gR

；
（2）分析滑行過程如圖所示，P球產生內能μmg2R，Q球產生內能μmg3R，
由能量守恒得：mgR+mg2R=μmg2R+μmg3R
解得：μ=0.6；
（3）輕桿由釋放到Q球到達C點時，系統的機械能守恒，因為P、Q兩球的速度大小相等，則有：
mgR+mg（1+sin30°）R=

1

2

×2mv22
解得：v₂=

5gr 2

；
答：（1）P球到達C點時的速度大小為

6gR

；
（2）兩小球與DE段軌道間的動摩擦因數為0.6；
（3）Q球到達C點時的速度大小為

5gR 2

．

點評：本題是系統能量守恒問題，要分兩個過程研究，沒有摩擦時，系統的機械能守恒，有摩擦時能量守恒．