Question

如圖所示，一輕質細繩的一端系質量m=0.01kg的小球，另一端系在光滑小環套在水平軸O上，O到小球的距離l=0.1m，小球跟水平面接觸但無相互作用．在球的兩側等遠處，分別豎立一固定擋板，兩擋板平行并正對，相距S=2m，水平面上有一質量為M=0.01kg的小滑塊，與水平面間的動摩擦因數μ=0.25，滑塊和小球連線與檔板面垂直，開始時，滑塊從左檔板處以V₀=10m/s的初速度向小球方向運動，以后在與小球，檔板每次碰撞時均不損失機械能，若不計空氣阻力，（g取10m/s²） 求：
（1）在滑塊第一次與小球碰撞后的瞬間，繩子對小球拉力的大小？
（2）在滑塊最靜止前，小球完成完整的圓周運動次數．

Answer 1

分析：（1）根據動能定理求出木塊與小球碰撞前的速度，碰撞的過程中無能量損失，根據動量守恒定律和能量守恒定律求出碰后小球的速度，結合牛頓第二定律求出繩子拉力的大小．
（2）根據牛頓第二定律求出小球做圓周運動在最高點的最小速度，通過動能定理求出最后一次碰撞后的速度，抓住碰撞過程中速度交換，對木塊全過程運用動能定理，從而得出小球能完成完整圓周運動的次數．

解答：解：（1）滑塊從開始運動到第一次與小球碰前，根據動能定理得：
-μMg?

S

2

=

1

2

MV

2 1

-

1

2

MV

2 0

V₁為滑塊速度
解得：V₁=

v 2 0 -μgS

=

95

m/s
碰撞過程，規定向右為正方向，根據動量守恒得：
MV₁=MV′₁+mV′₂  
根據檔板每次碰撞時均不損失機械能，

1

2

MV

2 1

=

1

2

MV′

2 1

+

1

2

mV′

2 2

聯立解得：V′₁=0，V′₂=V₁=

95

m/s
可知每次小球與滑塊碰撞都交換速度，對小球，根據牛頓第二定律得：
F-mg=

mv′ 2 2

l

代入數據解得：F=0.1+0.01×

95

0.1

N=9.6N．
（2）設小球開始做第n次完整圓周運動時的速度為v_n；
通過最高點速度為v，由于滑塊的每次碰撞都不損失機械能，故對滑塊有：
-μmg（2n-1）

S

2

=

1

2

mV

2 n

-

1

2

mV

2 0

對小球，根據機械能守恒得：

1

2

mV

2 n

=

1

2

mV

2

+mg?2l
根據牛頓第二定律得小球做完整圓周運動條件是V≥

gl

聯立代入數據解得：n=10
答：（1）懸線對小球的拉力為9.6N．
（2）能，小球能完成完整的圓周運動10次．

點評：本題綜合考查動量守恒定律、能量守恒定律、牛頓第二定律和動能定理，綜合性較強，對學生的能力要求較高，是道難題．