Question

如圖，半徑為R，光滑的

1

4

圓弧軌道固定在豎直平面內(nèi)，與水平軌道CN相接．水平軌道的CD段光滑、DN段粗糙．一根輕質(zhì)彈簧一端固定在C處的豎直面上，另一端與質(zhì)量為2m的小物塊b剛好在D點(diǎn)接觸但不連接，彈簧處于自然長(zhǎng)度．質(zhì)量為m的小物塊a從圓弧軌道頂端M點(diǎn)由靜止釋放并下滑，后與物塊b碰撞后一起向左壓縮彈簧（兩物塊不粘連）．若

.

DN

=l，物塊a、b與軌道DN的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ₁=0.1和μ₂=0.2，重力加速度為g．求：
（1）小物塊a第一次經(jīng)過(guò)N點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)a支持力的大小．
（2）小物塊a與物塊b碰撞后瞬間的共同速度大小．
（3）若a、b能且只能發(fā)生一次碰撞，試討論l與R的關(guān)系．

Answer 1

（1）物塊a由M到N過(guò)程中，由機(jī)械能守恒有：mgr=

1

2

mv

21

①
由牛頓第二定律有：F-mg=

m v 21

R

②
聯(lián)立①②解得：軌道對(duì)a支持力 F=3mg
（2）物塊a從N滑至D過(guò)程中，由動(dòng)能定理有：-μ1mgl=

1

2

m

v

2D1

-

1

2

m

v

21

③
物塊a、b在D點(diǎn)碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒有：mv_D1=3mv_D2 ④
解得兩物塊在D點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)的速度 vD2=

2g(R-0.1l)

3

（3）a、b一起壓縮彈簧后又返回D點(diǎn)時(shí)速度大小v_D3=

2g(R-0.1l)

3

⑤
由于物塊b的加速度大于物塊a的加速度，所以經(jīng)過(guò)D點(diǎn)后，a、b兩物塊分離，同時(shí)也與彈簧分離．討論：①假設(shè)a在D點(diǎn)時(shí)的速度v_D1=0，即l=10R，要使a、b能夠發(fā)生碰撞，則l＜10R ②假設(shè)物塊a滑上圓弧軌道又返回，最終停在水平軌道P點(diǎn)，物塊b在水平軌道上勻減速滑至P點(diǎn)也恰好停止，設(shè)

.

PN

=x，則

.

DP

=l-x，
根據(jù)能量守恒，對(duì)a物塊 μ₁mg（l+x）=

1

2

m

v

2D3

⑥
對(duì)b物塊μ₂2mg（l-x）=

1

2

2mv

2D3

⑦
由以上兩式解得：x=

1

3

l，⑧
將x=

1

3

l代人 μ₁mg（l+x）=

1

2

m

v

2D3

解得：l=

10

13

R ⑨
要使a、b只發(fā)生一次碰撞，則l≥

10

13

R ⑩
綜上所述，當(dāng)10R＞l≥

10

13

R時(shí)，a、b能且只能發(fā)生一次碰撞．
答：
（1）小物塊a第一次經(jīng)過(guò)N點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)a支持力的大小為3mg．
（2）小物塊a與物塊b碰撞后瞬間的共同速度大小為

2g(R-0.1l)

3

．
（3）若a、b能且只能發(fā)生一次碰撞，討論l與R的關(guān)系見(jiàn)上．