Question

2007年10月31日，我國將“嫦娥一號”衛(wèi)星送入太空，經(jīng)過3次近月制動，衛(wèi)星于11月7日順利進入環(huán)月圓軌道．在不久的將來，我國宇航員將登上月球，屆時“嫦娥號”飛船將進入繞月飛行的圓形軌道a，如圖，當飛船運動至A點時啟動登月艙進入橢圓軌道b，到B點實現(xiàn)著陸，（橢圓軌道的一個焦點在月球中心，A、B分別為與軌道a和月球表面相切點）．已知月球質(zhì)量為M，半徑為R，軌道a半徑為r，萬有引力常量為G．試求：
（1）飛船繞月飛行的周期T_a；
（2）登月艙由軌道a進入軌道b時，在A點應(yīng)啟動發(fā)動機，向前噴氣還是向后噴氣？從A點到B點的時間是多少？

Answer 1

分析：本題先考慮飛船為何繞月球做勻速圓周運動，后用萬有引力提供向心力列方程求飛船周期，再利用開普勒第三定律求時間．

解答：解：（1）設(shè)飛船的質(zhì)量為m，由萬有引力提供向心力，得：
G

Mm

r2

=m

4π2

T 2 a

r     
 解得：Ta=2π

r3 GM

    
（2）登月艙由軌道a進入軌道b做向心運動，應(yīng)減速，故向前噴氣．
    設(shè)登月艙從A點到B點的時間為t，由開普勒第三定律：

r3

T a 2

=

( R+r 2 )3

(2t)2

  
 解得：t=

π

2

(R+r)3 2GM

點評：本題主要考查萬有引力定律的應(yīng)用，開普勒定律的應(yīng)用．