Question

（2009?佛山三模）如圖所示，固定的豎直光滑金屬導軌間距為L，上端接有阻值為R的電阻，處在方向水平、垂直導軌平面向里的磁感應強度為B的勻強磁場中，質量為m的導體棒與下端固定的豎直輕質彈簧相連且始終保持與導軌接觸良好，導軌與導體棒的電阻均可忽略，彈簧的勁度系數為k．初始時刻，彈簧恰好處于自然長度，使導體棒以初動能E_k沿導軌豎直向下運動，且導體棒在往復運動過程中，始終與導軌垂直．
（1）求初始時刻導體棒所受安培力的大小F；
（2）導體棒往復運動一段時間后，最終將靜止．設靜止時彈簧的彈性勢能為E_p，則從初始時刻到最終導體棒靜止的過程中，電阻R上產生的焦耳熱Q為多少？

Answer 1

分析：（1）由初動能E_k=

1

2

m

v

2 0

求出初速度，由E=BLv、I=

E

R

、F=BIL，求出安培力的大小．
（2）導體棒最終靜止時，彈簧的彈力與之重力平衡，可求出彈簧的壓縮量，即導體棒下降的高度．從初始時刻到最終導體棒靜止的過程中，導體棒的重力勢能和動能減小轉化為彈簧的彈性勢能和內能，根據能量守恒定律求解電阻R上產生的焦耳熱Q．

解答：解：（1）設導體棒的初速度為v₀，由動能的定義式
    E_k=

1

2

m

v

2 0

 得  v0=

2Ek m

設初始時刻產生的感應電動勢為E，由法拉第電磁感應定律得：
     E=BLv
設初始時刻回路中產生的電流為I，由閉合電路的歐姆定律得：
   I=

E

R

設初始時刻導體棒受到的安培力為F，由安培力公式得：F=BIL
聯立上式得，F=

B2L2

R

2Ek m

（2）從初始時刻到最終導體棒靜止的過程中，導體棒減少的機械能一部分轉化為彈簧的彈性勢能，另一部分通過克服安培力做功轉化為電路中的電能，因在電路中只有電阻，電能最終全部轉化為電阻上產生的焦耳熱Q．
當導體棒靜止時，棒受力平衡，此時導體棒的位置比初始時刻降低了h，
則   mg=kh，得h=

mg

k

由能的轉化和守恒定律得：mgh+E_k=E_P+Q
 解得 Q=

m2g2

k

+Ek-Ep
答：
（1）初始時刻導體棒所受安培力的大小F為

B2L2

R

2Ek m

；
（2）從初始時刻到最終導體棒靜止的過程中，電阻R上產生的焦耳熱Q為

m2g2

k

+Ek-Ep．

點評：本題中安培力的經驗公式F=

B2L2v

R

，可以由感應電動勢、歐姆定律、安培力三個公式結合推導出來，要加強記憶，有助于分析和計算．