Question

（2009?佛山三模）新華社北京10月24日電，24日18時29分，星箭成功分離之后，嫦娥一號衛星進入半徑為205公里的圓軌道上繞地球做圓周運動，衛星在這個軌道上“奔跑”一圈半后，于25日下午進行第一次變軌，變軌后，衛星軌道半徑將抬高到離地球約600公里的地方．已知地球半徑為R，表面重力加速度為g，質量為m的嫦娥一號衛星在地球上空的萬有引力勢能為E_p=

mgR2

r

，（以無窮遠處引力勢能為零），r表示物體到地心的距離．
（1）質量為m的嫦娥一號衛星以速率v在某一圓軌道上繞地球做圓周運動，求此時衛星距地球地面高度h₁；
（2）要使嫦娥一號衛星上升，從離地高度h1再增加h的軌道上做勻速圓周運動，衛星發動機至少要做多少功？

Answer 1

分析：1、衛星繞地球做圓周運動靠萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律，結合萬有引力等于重力求出軌道半徑的大小，從而求出衛星距離地面的高度．
2、根據分別求出在離地高度h₁和h₁+h的軌道上的總機械能E₁、E₂，根據功能關系W=E₂-E₁，可計算衛星發動機至少要做的功．

解答：解：（1）設地球質量為M，萬有引力恒量為G，衛星距地面高度為h₁時速度為v，
對衛星有G

Mm

(R+h1)2

=m

v2

R+h1

，對地面上物體有mg=G

Mm

R2

，
解以上兩式得h1=

gR2

v2

-R．
（2）衛星在距地面高度h₁的軌道做勻速圓周運動有G

Mm

(R+h1)2

=m

v2

R+h1

，得v2=

GM

(R+h1)

∴此時衛星的動能Ek1=

1

2

mv2=

GMm

2(R+h1)

=

mgR2

2(R+h1)

，萬有引力勢能Ep1=-

mgR2

R+h1

，
衛星在距地面高度h₁時的總機械能E1=Ek1+Ep1=

mgR2

2(R+h1)

-

mgR2

R+h1

=-

mgR2

2(R+h1)

．
同理，衛星在距地面高度（h₁+h）時的總機械能E2=-

mgR2

2(R+h1+h)

．
由功能關系，衛星發動機至少要做功 W=E₂-E₁=

mgR2h

2(R+h1)(R+h1+h)

．
答：（1）質量為m的嫦娥一號衛星以速率v在某一圓軌道上繞地球做圓周運動，則此時衛星距地球地面高度h₁為

gR2

v2

-R．
（2）要使嫦娥一號衛星上升，從離地高度h1再增加h的軌道上做勻速圓周運動，則衛星發動機至少要做功為

mgR2h

2(R+h1)(R+h1+h)

．

點評：解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力G

Mm

r2

=m

v2

r

以及萬有引力等于重力這兩大理論．