Question

如圖所示，半徑R=0.4m的豎直光滑半圓固定軌道與粗糙的水平面相切于A點，質量為m=1kg的小物體（可視為質點）在水平拉力F的作用下，從C點運動到A點，物體從A點進入半圓軌道的同時撤去外力F，物體沿半圓軌道通過最高點B后作平拋運動，正好落在C點，已知AC=2m，g取10m/s²，試求：
（1）在B點時半圓軌道對物體的彈力；
（2）若F=15N，則物體從C到A的過程中，摩擦力做的功．
（3）水平拉力至少做多少功才能使小物體到達B點．

Answer 1

分析：（1）物體離開B點做平拋運動，根據高度求出運動的時間，根據時間和AC的距離求出物體經過B點時的瞬時速度．再根據牛頓第二定律求出在B點時半圓軌道對物體的彈力．
（2）由C到B過程，運用動能定理求解物體從C到A的過程中摩擦力做的功．
（3）物體恰好過最高點，軌道對物體的彈力為零，根據牛頓第二定律求出物體到達B點的瞬時速度．由C到B，由動能定理求解水平拉力做功．

解答：解：（1）物體離開B點做平拋運動，則有：
   2R=

1

2

gt2 …①
   s_AC=v_Bt …②
在B點：由牛頓第二定律得：N_B+mg=m

v 2 B

R

…③
代入數據解得：N_B=52.5N …④
（2）C到B過程，由動能定理得：
  Fs_AC+W_f-mg?2R=

1

2

m

v

2 B

-0…⑤
代入數據得：W_f=-9.5J…⑥
（3）小物體要到達最高點B時，至少應使m

v 2 B1

R

≥mg
解得，v_B2≥

gR

=2m/s…⑦
由C到B過程，由動能定理得：
  W_F+W_f-mg?2R=

1

2

m

v

2 B1

-0…⑧
⑥⑦⑧聯解得：W_F≥19.5J…⑨
答：
（1）在B點時半圓軌道對物體的彈力是52.5N；
（2）若F=15N，則物體從C到A的過程中，摩擦力做的功是-9.5J．
（3）水平拉力至少做19.5J功才能使小物體到達B點．

點評：本題考查了平拋運動、圓周運動的知識，綜合運用了牛頓第二定律和動能定理，是一道簡單的綜合題．