Question

如圖（甲）所示為一種研究高能粒子相互作用的裝置，兩個直線加速器均由k個長度逐個增長的金屬圓筒組成（整個裝置處于真空中。圖中只畫出了6個圓筒，作為示意），它們沿中心軸線排列成一串，各個圓筒相間地連接到頻率為f、最大電壓值為U的正弦交流電源的兩端。設(shè)金屬圓筒內(nèi)部沒有電場，且每個圓筒間的縫隙寬度很小，帶電粒子穿過縫隙的時間可忽略不計。為達到最佳加速效果，應(yīng)當(dāng)調(diào)節(jié)至粒子穿過每個圓筒的時間恰為交流電的半個周期，粒子每次通過圓筒間縫隙時，都恰為交流電壓的峰值。
質(zhì)量為m、電荷量為e的正、負電子分別經(jīng)過直線加速器加速后，從左、右兩側(cè)被導(dǎo)入裝置送入位于水平面內(nèi)的圓環(huán)形真空管道，且被導(dǎo)入的速度方向與圓環(huán)形管道中粗虛線相切。在管道內(nèi)控制電子轉(zhuǎn)彎的是一系列圓形電磁鐵，即圖中的A₁、A₂、A₃……A_n，共n個，均勻分布在整個圓周上（圖中只示意性地用細實線和細虛線了幾個），每個電磁鐵內(nèi)的磁場都是磁感應(yīng)強度和方向均相同的勻強磁場，磁場區(qū)域都是直徑為d的圓形。改變電磁鐵內(nèi)電流的大小，就可改變磁場的磁感應(yīng)強度，從而改變電子偏轉(zhuǎn)的角度。經(jīng)過精確的調(diào)整，可使電子在環(huán)形管道中沿圖中粗虛線所示的軌跡運動，這時電子經(jīng)過每個電磁鐵時射入點和射出點都在電磁鐵的一條直徑的兩端，如圖（乙）所示。這就為實現(xiàn)正、負電子的對撞作好了準(zhǔn)備。
（1）若正電子進入第一個圓筒的開口時的速度為v₀，且此時第一、二兩個圓筒的電勢差為U，正電子進入第二個圓筒時的速率多大？
（2）正、負電子對撞時的速度多大？
（3）為使正電子進入圓形磁場時獲得最大動能，各個圓筒的長度應(yīng)滿足什么條件？
（4）正電子通過一個圓形磁場所用的時間是多少？

Answer 1

（1）   （2）
（3） （N=1、2、3……k）
（4）

（1）設(shè)正電子進入第二個圓筒時的速率為v₁，根據(jù)動能定理
eU=
解得：v₁=
（2）正、負電子對撞時的動能等于進入第k個圓筒時的動能E_k，根據(jù)動能定理
(k-1)eU=
解得　　　
（3）設(shè)正電子進入第N個圓筒的速率為v_N-1，第N個圓筒的長度為L_N，則
L_N=v_N-1
由動能定理得
(N-1)eU=
解得：
第N個圓筒的長度應(yīng)滿足的條件是：
 （N=1、2、3……k）
（4）設(shè)電子經(jīng)過1個電磁鐵的圓形磁場區(qū)過程中偏轉(zhuǎn)角度為θ，則 
由圖可知，電子射入勻強磁場區(qū)時的速度與通過射入點的磁場直徑夾角為θ/ 2
電子在磁場區(qū)內(nèi)作圓運動，洛侖茲力是向心力
        　　　
∴    
根據(jù)幾何關(guān)系  
解出 
設(shè)正電子通過一個圓形磁場所用的時間是t，則，
　　而
所以，